有哪些数学定理或者数学知识惊呆了你？
任何一只猫都有菊花（误
所谓的毛球定理。
这个定理告诉我萌： 上的连续向量场一定存在零点(*/ω＼*)
很直观的应用是：任何一个时刻地球表面一定有一个点是风平浪静的～（也就是空气静止，如果我们只考虑水平方向的风）
看到的时候吃了一惊
看到欧拉的胡乱解法又吃了一惊
等到看到严格的解法就不吃惊了「任何曲线都可以用函数逼近。」
这个知识其实从中学时就知道，但是见识受限当时并没有想太多，直到后来遇到了这个尼古拉斯凯奇曲线：
再后来又接触了诸如matlab，mathematica的数学软件，才发现原来随便画张图都可以把它的函数通过数学软件弄出来。
从此打开了新世界的大门…0 0 0 0如何等于24？
=>
（0！+0！+0！+0！）！=24Curry-Howard 同构《数学分析》书本里面有个 “闭域套定理”，但是老师上课时故意说成 “闭区间套定理”，可能是怕引起尴尬吧。学数理逻辑的
我们总是能证明。这个问题是无解的…
Max flow/min cut theorem 最大流最小割定理
肯定不止一个，这里先说一个，这个被列为计算机史上最重要的几十个定理之一。
此乃运筹学/线性规划/图论/网络流模型/理论计算机/近似算法/图像分割应用里的非常经典的一个定理。
模型大致意思就是，从一张权重图（weighed graph）找到从出发点(S=0)到到达点(t=5)的最大的流量（每条边有capacity，即流量限制）。
妙处有四：
1，首先这一点是所有network flow problem所共有的性质。
众所周知运筹学中，混合整数规划Mixed Integer Programming（MIP）问题一般是NP hard，因此算法复杂度是指数级的。
但是，网络流问题写成一个MIP之后，我们解他的线性规划松弛问题Linear Progamming Relaxation(LPR), 可以证明他的解中整数变量已经是整数了，也就是说LPR = MIP原问题，而LP解是多项式Polynomial复杂度的。
因此网络流问题这个原本看似NP难的MIP问题，被理论证明为是Polynomial可解的问题。（证明思路是求证IP的系数矩阵是Total Unimodular.）
2， 因此我们把Max Flow Problem可以直接写成一个LP问题，而这个最大流LP问题可以等价于找一个最小的边的切割问题，即它的线性规划对偶问题LP dual problem。
然后妙处在于这个等价问题上会有更好的性质去找更好的算法(如Ford–Fulkerson algorithm)。
3，这个问题的算法设计思路阶段，可看作近似算法approximation algorithm范畴。
而近似算法的本意通常为解决一个NP难问题，因为算法复杂度原因，算法家通常退而求其次设计一近似算法，使得算法复杂度polynomial，但是可理论证明这个算法得到的解是原问题global optimal的一个倍数K之内。
然而高潮来了，这个最大流最小割定理设计的一套基于残差网络residual network的算法，这个系数K=1。
什么意思呢？也就是说，近似算法在这里即能求得全局最优解！Perfect！
并且，这个基于LP dual problem设计出来的算法，实际效果上被验证是比直接用LP经典算法Simplex Method快很多的。
4，Yuri Boykov大神运用这个定理在图像分割领域大展拳脚，其开山之作Graph Cut为这个领域开创了一片新的天地，成为这一领域最常用的俩个算法之一，引用率达8000+。
模型的思路即把一张图像看成一个Graph(V,E)，然后引入额外俩个node即图中S和T，S可以代表前景，T可以代表背景。
然后一个二元图像分割问题，就被完美（需要一些额外条件）地转化成一个最大流最小割问题了。
右图中的cut，就把这张图分成了前景和背景，最后和S相连的边是前景。
其核心算法正是基于这个定理既能保证全局最优，算法复杂度又在polynomial基础上的。
相关论文：
An Experimental Comparison of Min-Cut/Max-Flow Algorithms for ...
Fast Approximate Energy Minimization via Graph Cuts
Interactive Graph Cuts for Optimal Boundary & Region Segmentation ...
Graph Cuts and Efficient ND Image Segmentation - CiteSeerX
更多运筹学与人工智能的结合，敬请关注 @运筹OR帷幄：
『运筹OR帷幄』大数据人工智能时代的运筹学不是每个东西都有体积。具体地说，我们无法为每个的子集（事实上是）指派一个非负实数满足
- ,为单位立方体。
- 与不相交时，有,
- 时，有,
- ,即平移后体积不变。
大白话就是这样的：
- 单位正方体的体积是 1 ；
- 两个集合不相交，总体积就是二者之和；
- 当一个集合属于另一个集合的时候，它的体积一定不大于另一个集合；
- 一个集合平移之后体积不变。
一个非常经典的反例是Banach，它把一个三维空间的单位球通过分割、平移和拼接，使得结果为两个大小和原来一样的单位球。
这是我遇到过的最震惊的数学知识了，有兴趣的可以去看测度论。里边有很多种体积（测度），每种都有严格的定义和适用范围（即 XX 可测集合才有 XX 测度），而并不是所有三维空间的子集均可测，因此产生了上述“悖论”。当然，对于我们遇到的绝大多数集合，体积（测度）这玩意还是存在的。
更新： @余翔 这个答案讲得非常好，大家可以看看。
为什么定积分可以求面积？ - 余翔的回答我感觉这张图上的两个恒等式都挺惊艳的
定理：喝醉的酒鬼总能找到回家的路，喝醉的小鸟则可能永远也回不了家。
假设有一条水平直线，从某个位置出发，每次有 50% 的概率向左走1米，有50%的概率向右走1米。按照这种方式无限地随机游走下去，最终能回到出发点的概率是多少？答案是100% 。在一维随机游走过程中，只要时间足够长，我们最终总能回到出发点。
现在考虑一个喝醉的酒鬼，他在街道上随机游走。假设整个城市的街道呈网格状分布，酒鬼每走到一个十字路口，都会概率均等地选择一条路（包括自己来时的那条路）继续走下去。那么他最终能够回到出发点的概率是多少呢？答案也还是 100% 。刚开始，这个醉鬼可能会越走越远，但最后他总能找到回家路。
不过，醉酒的小鸟就没有这么幸运了。假如一只小鸟飞行时，每次都从上、下、左、右、前、后中概率均等地选择一个方向，那么它很有可能永远也回不到 出发点了。事实上，在三维网格中随机游走，最终能回到出发点的概率只有大约 34% 。
这个定理是著名数学家波利亚（George Pólya）在 1921 年证明的。随着维度的增加，回到出发点的概率将变得越来越低。在四维网格中随机游走，最终能回到出发点的概率是 19.3% ，而在八维空间中，这个概率只有 7.3% 。
“你在这里”
定理：把一张当地的地图平铺在地上，则总能在地图上找到一点，这个点下面的地上的点正好就是它在地图上所表示的位置。
也就是说，如果在商场的地板上画了一张整个商场的地图，那么你总能在地图上精确地作一个“你在这里”的标记。
1912 年，荷兰数学家布劳威尔（Luitzen Brouwer）证明了这么一个定理：假设 D 是某个圆盘中的点集，f 是一个从 D 到它自身的连续函数，则一定有一个点 x ，使得 f(x) = x 。换句话说，让一个圆盘里的所有点做连续的运动，则总有一个点可以正好回到运动之前的位置。这个定理叫做布劳威尔不动点定理（Brouwer fixed point theorem）。
除了上面的“地图定理”，布劳威尔不动点定理还有很多其他奇妙的推论。如果取两张大小相同的纸，把其中一张纸揉成一团之后放在另一张纸上，根据布劳威尔不动点定理，纸团上一定 存在一点，它正好位于下面那张纸的同一个点的正上方。
这个定理也可以扩展到三维空间中去：当你搅拌完咖啡后，一定能在咖啡中找到一个点，它在搅拌前后的位置相同（虽然这个点在搅拌过程中可 能到过别的地方）。
不能抚平的毛球
定理：你永远不能理顺椰子上的毛。
想象一个表面长满毛的球体，你能把所有的毛全部梳平，不留下任何像鸡冠一样的一撮毛或者像头发一样的旋吗？拓扑学告诉你，这是办不到的。这叫做毛球定理（hairy ball theorem），它也是由布劳威尔首先证明的。用数学语言来说就是，在一个球体表面，不可能存在连续的单位向量场。这个定理可以推广到更高维的空间：对于任意一个偶数维的球面，连续的单位向量场都是不存在的。
毛球定理在气象学上有一个有趣的应用：由于地球表面的风速和风向都是连续的，因此由毛球定理，地球上总会有一个风速为 0 的地方，也就是说气旋和风眼是不可避免的。
气候完全相同的另一端
定理：在任意时刻，地球上总存在对称的两点，他们的温度和大气压的值正好都相同。
波兰数学家乌拉姆（Stanis?aw Marcin Ulam）曾经猜想，任意给定一个从 n 维球面到 n 维空间的连续函数，总能在球面上找到两个与球心相对称的点，他们的函数值是相同的。1933 年，波兰数学家博苏克（Karol Borsuk）证明了这个猜想，这就是拓扑学中的博苏克-乌拉姆定理（Borsuk–Ulam theorem）。
博苏克-乌拉姆定理有很多推论，其中一个推论就是，在地球上总存在对称的两点，他们的温度和大气压的值正好都相同（假设地球表面各地的温度差异和大气压差异是连续变化的）。这是因为，我们可以把温度值和大气压值所有可能的组合看成平面直角坐标系上的点，于是地球表面各点的温度和大气压变化情况就可以看作是二维球面到二维平面的函数，由博苏克-乌拉姆定理便可推出，一定存在两个函数值相等的对称点。
当 n = 1 时，博苏克-乌拉姆定理则可以表述为，在任一时刻，地球的赤道上总存在温度相等的两个点。对于这个弱化版的推论，我们有一个非常直观的证明方法：假设赤道上有 A、B 两个人，他们站在关于球心对称的位置上。如果此时他们所在地方的温度相同，问题就已经解决了。下面我们只需要考虑他们所在地点的温度一高一低的情况。不妨假设，A 所在的地方是 10 度，B 所在的地方是 20 度吧。现在，让两人以相同的速度相同的方向沿着赤道旅行，保持两人始终在对称的位置上。假设在此过程中，各地的温度均不变。旅行过程中，两人不断报出自己 当地的温度。等到两人都环行赤道半周后，A 就到了原来 B 的位置，B 也到了 A 刚开始时的位置。在整个旅行过程中，A 所报的温度从 10 开始连续变化（有可能上下波动甚至超出 10 到 20 的范围），最终变成了 20；而 B 经历的温度则从 20 出发，最终连续变化到了 10。那么，他们所报的温度值在中间一定有“相交”的一刻，这样一来我们也就找到了赤道上两个温度相等的对称点。
平分火腿三明治
定理：任意给定一个火腿三明治，总有一刀能把它切开，使得火腿、奶酪和面包片恰好都被分成两等份。
而且更有趣的是，这个定理的名字真的就叫做“火腿三明治定理”（ham sandwich theorem）。它是由数学家亚瑟?斯通（Arthur Stone）和约翰?图基（John Tukey）在 1942 年证明的，在测度论中有着非常重要的意义。
火腿三明治定理可以扩展到 n 维的情况：如果在 n 维空间中有 n 个物体，那么总存在一个 n - 1 维的超平面，它能把每个物体都分成“体积”相等的两份。这些物体可以是任何形状，还可以是不连通的（比如面包片），甚至可以是一些奇形怪状的点集，只要满足点集可测就行了。
最让我惊呆的知识是概率，因为在投资中非常实用，尤其是用于风险控制的凯利公式。
先从一个赌博游戏讲起：
假如有一天，马阿里突然要和你玩个抛硬币的投注游戏，规则是这样的:如果硬币正面朝上，马阿里就给你投注金额5倍的钱；如果硬币反面朝上，你所有下注的钱就归马阿里所有。问题的关键在于：下不下注？用多少钱下注？
要回答这个问题，必须从概率说起了。世界是由无数个偶然事件构成的，为了描述这种偶然性，数学家发明了概率。从某种意义上来说，人生就是一场概率游戏，投资的本质也是投概率。
- 一、零概率事件也可能发生
给定一根长度为1的线段，用一支无限小的针去扎这条线段，任何一个点都有可能被扎到，但扎到任何一个点的概率都是0。
因此，零概率事件也是可能发生的，反过来说，概率为100%的事件也有可能不发生。
为了不让小概率事件毁掉你的一切，你必须熟记理财中的那句经典名言：“不要把鸡蛋放在一个篮子里。”
由此引申出来的是：
- 用适当的钱买点保险很有必要，这是应对意外发生的最简单同时也是最好的办法；
- 家里储藏一点实物黄金也是很有必要的，这是用来应对战乱、饥荒等极小概率事件的有效手段，但最好祈祷这些黄金永远用不到；
- 银行里随时备有可供家庭支出3个月左右的活期存款还是很有必要的，这是用来应付意外失业的；
- 理财的钱要分散的投资于银行定期存款、银行理财、房市、信托、股市、债市、网络理财平台等，这是用来应付像股灾那样的崩塌性小概率事件。
……
- 二、数学期望决定了是否进行投资
文章开头的抛硬币游戏，之所以看起来划算，是因为我们认为硬币正面朝上和反面朝上的概率是一样的，都是1/2，而正面朝上可以得到5倍回报，所以，回报是大于投入的。
回报到底有多大？数学期望就是这样一个衡量指标。通俗的来说，数学期望就是回报的平均值。如果回报为a(i)的概率是p(i),其计算公式就是：
E=a(1)*p(1)+a(2)*p(2)+…+a(n)*p(n)
在抛硬币游戏中，如果投入1元，回报的数学期望就是:
5*1/2-1*1/2=2元。
这个回报的数学期望是大于投入的，所以，参与游戏是能赚到钱的。
因此，判断一项投资是否划算，关键是计算数学期望与投入的关系，只有回报的数学期望大于投入时，才能进行投资。
从另一个角度看，数学期望可以用来估计资产的价格。比如有一项资产，有60%的概率挣到100万，有20%的概率挣到200万，有10%的概率不赚不赔，有10%的概率亏损500万，那这项资产值得用多少钱来购买？
由于其数学期望是：
100*60%+200*20%+0*10%-500*10%=50，
因此，只要价格不高于50万元，这项资产都是值得购买的。
- 三、凯利公式告诉你投资的仓位
我们已经知道，文章开头的抛硬币游戏是一项能赚到钱的投资。现在考虑一个问题:假如你有1万元，为了保证在有限次游戏中收益的最大化，你每次该用多少钱去参与？
要是全部投入，一把梭哈，那万一全亏了怎么办？
要是投资少了，机会难得，赚少了就只能自己后悔！
数学中， “凯利公式”就是用来解决这个问题的！这个公式是教你风险控制的方法，让你在确保不爆仓的前提下，得到收益最大化。
先给出凯利公式的表达式：
f=(ap-bq)/(ab),
其中f就是投入的最佳仓位，
a表示本金收益率（赌博中叫赔率），
b表示本金损失率（赌博中b为1），
p表示获得正收益的概率，
q表示获得亏损的的概率。
在抛硬币的游戏中，a=5,b=1,p=q=1/2，容易计算得到f=40%。
所以，每次用4成的仓位去玩抛硬币的游戏才可以使收益最大化。
凯利公式的证明非常复杂，需要用到中心极限定理和正态分布等概率学知识，而且证明的过程也特别数学，这里就不再啰嗦。
马阿里的抛硬币游戏在生活中不常见，但投资的机会在生活中比比皆是。在股票、期货等投资中，凯利公式常常被用来进行仓位控制。
量化基金的鼻祖，天才数学家索普，就曾将凯利公式应用的出神入化。他先是自学编程，利用早期的IBM大型机，开发了一套专门用于21点的算法，然后用其在拉斯维加斯大把吸金，甚至因为赢钱太多一度被多家大型赌场列入黑名单拒绝入内，电影《决胜21点》就是以此为原型拍摄的。后来，他又成立了著名的量化基金PNP(PrincetonNewport Partners），应用凯利公式，在资本市场大杀四方，下图就是PNP基金的净值曲线。
不过，应用凯利公式最大的问题就是要知道慨率。数学题目中，概率都是已知的，但资本市场是千变万化的，概率并不知道，这就需要用到数学中的另外一个大杀器——大数定律。
- 四、大数定律告诉你怎么计算概率
太阳底下没有新鲜事！
历史总是在不断的重复，从历史中我们能够得到足够多的样本数据。
大数定律告诉我们，当样本数据足够多的时候，频率总是无限的趋近于概率。因此，用历史频率代替概率是科学可行的。
比如在股票的量化交易中，一种最简单的投资模型如下：
假设过去一段时间的最高价为m,最低价为n，当前价格为k。
正收益率用a=(m-k)/k表示，
亏损率用b=(k-n)/k表示，
赚钱和亏钱的概率分别用过去5年来的5日盈亏情况的频率替代，
最佳仓位f就可以用凯利公式进行计算并实时调整了。
真实的量化交易模型，比上面的要复杂很多，也精细很多，但万变不离其宗，凯利公式都是风险控制的不二法门。
这篇文章原来发在我的个人公众号“每天3道奥数题”(tiantianaoshu)，免费教家长辅导奥数的，每天发布小学奥数题及详细解答，有需要辅导小孩的家长朋友欢迎关注。
谢谢你长这么帅还给我点赞。
伽罗瓦理论，多项式可解的充要条件
Matrix67: The Aha Moments
有个不等式，它的图像里竟然可以包含其本身：
在0≤x≤106，n≤y≤n+17的范围内，这个不等式对应的图象是这个样子：
其中，n=960939379918958884971672962127852754715004339660129306651505519271702802395266424689642842174350718121267153782770623355993237280874144307891325963941337723487857735749823926629715517173716995165232890538221612403238855866184013235585136048828693337902491454229288667081096184496091705183454067827731551705405381627380967602565625016981482083418783163849115590225610003652351370343874461848378737238198224849863465033159410054974700593138339226497249461751545728366702369745461014655997933798537483143786841806593422227898388722980000748404719
这个东西的原理是进制，想一想发现，Tupper真的屌.
顺说这个东西改一改，拿程序跑一下还可以拿来表白.
虽然不见得成功.
---------------分割线---------------
8月15日更新：
感谢评论区 @酱紫君 辟谣，上面的那个n是错误的，对应的图像恰好是旋转了180°的，如下：
正确的n值应为（怕出问题我也重新点了一遍）4858450636189713423582095962494202044581400587983244549483093085061934704708809928450644769865524364849997247024915119110411605739177407856919754326571855442057210445735883681829823754139634338225199452191651284348332905131193199953502413758765239264874613394906870130562295813219481113685339535565290850023875092856892694555974281546386510730049106723058933586052544096664351265349363643957125565695936815184334857605266940161251266951421550539554519153785457525756590740540157929001765967965480064427829131488548259914721248506352686630476300
绘制出来的图像为：
顺便，如果把不等式改为：
则在0≤x≤13，n≤y≤n+5的范围内，这个不等式对应的图象是这个样子：
其中，n=179057560799192115125.
七夕快到了，老铁们加油啊.
你应该看看二次互反律，高斯很喜欢
分享一个最近把我震惊了的定理：
存在一个整系数不定方程，它应当没有整数解，但其整数解不存在性不能被证明！
更具体地说：
有人证明了对于一个公理系统（如ZFC）中的任意命题p，都可以构造一个整系数多项式，其存在整数零点的充分必要条件是命题p在该公理系统中存在证明。于是，令命题p表示公理系统的相容性，由于哥德尔不完备性定理告诉我们此公理系统的相容性不能被证明，于是我们就知道此方程应当无解且无法被证明。
此方程原则上可以被具体构造，但因为它需要把公理系统编码进去，因此实际上会极其复杂。
参考文献：
Hilbert tenth problem
On a Diophantine Representation of the Predicate of Provability
一点感想：
数学的可怕超乎我的想象。。据此我还开了点脑洞：（以下内容纯属虚构）
显然，所有的不存在整数解的整系数不定方程是可枚举的，不妨按一定规律从简单到复杂将他们排列出来，为
设 表示证明 无解的最短证明的长度。因此， 大致近似是个增函数。
假设ZFC确实是相容的，那么上述定理表明，存在一个有限大的 使得 没有整数解且其无解这一点无法证明。那么这相当于说 .
这就表明解不定方程是个具有顶级难度的数学问题，因为 的增长太快了。既然 能达到无限大，那么几乎就意味着存在一系列方程 他们的最短证明的长度 可以任意大。
人类能解决的不定方程问题，比如费马大定理，证明已经需要几百页，但与任意大相比起来又是何等的微不足道！
这样看来，研究不定方程的数论专家总能有事可做。无论他们提出多复杂的数论方法来解决一个方程，总有更复杂的方程等着他！
更进一步，应当存在一个方程 ，它无整数解是可证明的，但这个证明的最小长度超过了宇宙中所有原子的数量，因此它实际上是不可能被人类找到的。
如果这听起来很沮丧，那么不妨想想，这个宇宙中也没有任何别的智能文明能证明它。似乎这样就好多了呢。
2019/5/3 更
Martin Hirzel给出了哥德尔原始论文的英译版：
On formally undecidablepropositions of Principia Mathematica and related systems I
赵昊彤的博客对该定理有更加详细的文字阐述：
“哥德尔不完备定理”到底说了些什么？——（一）
混乱博物馆对该定理的视频解读：
【混乱博物馆】哥德尔证明：智力的交响乐
2019/4/24 原答：
翻了翻答案，没看到有说哥德尔不完备定理的。
我第一次接触的时候被惊掉了下巴，彻底颠覆了 多年的数学观。
虽然理解哥德尔不完备定理基本上只需要初中数学水平，但是定理不可思议的程度远超你的想象。
学过平面几何的同学对数学公理化一定不陌生，古希腊数学家欧几里德的《几何原本》开数学公理化之先河。
其后在1900年，希尔伯特在大会上再一次提出升级版的数学公理化，认为只要我们搭建出一个完美的数学公理体系，那么在这个公理体系下，就不存在未知的数学问题。这个提议也被称为数学公理化运动。
那么啥是公理呢？基于人类理性的不证自明的基本事实，叫做公设或公理，这些基本事实可以总结为若干条公理，称为一个公理体系。
从逻辑学的角度讲，有因才能有果，“因”是公理，“果”则是有效结论，从因到果的过程则叫逻辑推演，可见，公理是逻辑推演的起点。
总结起来就是：公理 + 逻辑推演 = 有效结论
举个栗子
比如说自然数公理，又叫皮亚诺公理。
1889年，皮亚诺在戴德金关于自然数公理化工作的基础上，提出了一个简化版的自然数公理体系，这个体系包含 条公理，并以 作为第一个自然数。
后来，皮亚诺对这一体系做了修改，进一步简化为 条公理，以 作为第一个自然数。
一般来说，数论中自然数从1开始，集合论中从0开始。
自然数公理其实只有两个基本概念：自然数和后继。
什么是自然数？比如 这些从0开始的整数叫自然数。
什么是后继？比如1是0的后继，2是1的后继，3是2的后继。
自然数公理：
公理1：0 是自然数；
公理2：任何自然数的后继是自然数；
公理3：0 不是任何数的后继；
公理4：不同的自然数后继不同；
公理5：对于某一性质，若 0 有此性质，而且若某自然数有此性质时，则它的后继也有此性质，则一切自然数都有此性质。
基于公理体系的一个表述，叫做命题。
命题可以是对的，也可以是错的，对的叫真命题，错的叫假命题，真命题也叫定理。
比如说，“1是自然数”就是一个命题，这个命题可以通过上述自然数公理中的公理1、公理2以及后继的概念来证明：
由公理1，0是自然数；由后继的定义，1是0的后继；由公理2，任何自然数的后继是自然数，所以1是自然数。
所以，1是自然数”就是一个真命题。
OK，知道以上基本概念后，那对于一个逻辑系统来说，至少要满足以下几个性质：
1、有效性
如果前提都是真的，那么推导出来的结论也是真的。
2、可靠性
真前提一定得到真结论。
3、自洽性
任一公理或定理不能与其他公理或定理相矛盾。
4、完备性
系统中不存在无法证明或证伪的命题。
这样一来，哥德尔不完备定理用一句话概括就是：
任何一个包含自然数公理的算数形式系统中，这个系统不可能同时满足自洽性和完备性。
啥意思？就是说：
如果要保证你的系统中所有命题都能被证明或证伪，那么你的系统中就一定存在某些定理与其他定理相矛盾；
如果要保证你的系统中所有定理都不与其他定理相矛盾，那么你的系统中就一定会存在既不能被证明也不能被证伪的命题。
在当下包含自然数公理的数学体系中，自洽性是一定要满足的，也就是说，不允许有某些定理互相矛盾，那么在这个体系内，一定存在某些命题，你既不能证明它是对的，你也不能证明它是错的。
Amazing！
下面回答评论中问的有效性和可靠性的区别：
我重新翻了一下《逻辑学导论》。
简言之，“有效性”包含“可靠性”。
如果一个论证过程是“可靠的”，那它一定是“有效的”。
反过来，如果一个论证过程是“有效的”，那它不一定是“可靠的”。
具体来说：
首先，有效性是论证过程的属性，也就是说有效性是指的论证的过程是否有效，而不去管前提和结论的真假。
其次，有效性的定义是：如果前提是真的，则结论必定是真的。
注意定义里的如果二字，有效性只是说如果前提为真，并没有要求前提必须是真。
例子1：所有哺乳动物都有肺，所有鲸鱼都是哺乳动物，所以所有鲸鱼都有肺。这里的论证过程是有效的，并且这里的前提和结论都是真的。
例子2：所有四条腿的生物都有翅膀，所有蜘蛛都是四条腿，所以所有蜘蛛都有翅膀。很明显这里的前提和结论都是假的，但是这里的论证过程却是有效的，因为如果前提是真的，那么结论也一定是真。
其实反证法就是运用有效性的绝佳例子。
使用反证法的时候，一开始做了一个假设，这个假设其实是错的，但是我们当它是对的，然后进行推理，推理的整个过程都要保证推理过程是有效的，直到最后得出一个假结论，此时根据有效性可知，如果前提为真，则结论一定为真，然而此处却得出了假结论，那么一定是前提出错了。
然后，可靠性说的是什么呢？可靠性的定义其实就是把有效性的定义中的如果两个字去掉，也就是：真前提一定得到真结论。
也就是说，如果一个论证过程是“有效的”，并且所有前提都是真的，那么像这样的论证过程我们就说它是“可靠的”，即 论证有效+前提为真=论证可靠。
在我的理解里面：
有效性是着重从过程的角度去描述演绎过程，而可靠性则是着重从结论的角度去描述演绎过程。
所以我们才会常说：过程有效，结论可靠
上面的例子1是有效的，并且是可靠的。例子2是有效的，但是是不可靠的。
如果你想了解更多，可以参考《逻辑学导论》【1】的P49，P52-P56
参考资料
[1] 欧文?柯匹卡尔?科恩, 科恩, 张建军. 逻辑学导论:第11版[M]. 中国人民大学出版社, 2007.
1990 年，美国马里兰州的 Craig Whitaker 给 Parade 杂志的「问问玛丽莲」（ Ask Marilyn ）专栏写了一封信，向这个专栏的主持人玛丽莲·沃斯·莎凡特（ Marilyn vos Savant ）提出了一个概率问题：「假设你正在参加一个电视节目。舞台上有三扇门，其中一扇门的后面是汽车，另外两扇门的后面是山羊。你当然是想选中后面有汽车的那扇门。你随便选择了一扇门，比如说 1 号门。这时，主持人打开了另一扇门，比如说 3 号门，让你看到了 3 号门的后面是一只山羊（主持人知道每扇门后面都是什么）。现在，主持人给你一次重新选择的机会。你是否应该换选 2 号门呢？」
玛丽莲是门萨国际的会员，她拥有高达 228 的智商，曾是吉尼斯世界纪录记载的「智商最高的人」。在 Parade 的专栏里，玛丽莲回答过各式各样的谜题，几乎从未出错，这次也不例外。她的回答非常明确：应该换。只需要注意到下面这个事实：刚开始你选中的是汽车，换了后你就会获得山羊；刚开始你选中的是山羊，换了后你就会获得汽车。由于你刚开始选中汽车的概率只有 1/3，选中山羊的概率有 2/3，因此换选 2 号门对你更有利一些。
上面的解答是完全正确的。然而，很多人会觉得，游戏者最终面对的不过是一个二选一的难题，换与不换似乎应该是一样的呀？于是，这个问题毫无疑问地成为了史上争论最多的数学问题之一。上万名读者向 Parade 杂志写信指出玛丽莲的「错误」，其中包括近千名拥有 PhD 学位的读者。据说，匈牙利数学家保罗·埃尔德什（Paul Erd?s）刚开始也拒不接受玛丽莲给出的答案，直到亲眼看见计算机模拟出来的结果，才慢慢开始改变自己的看法。
这个故事告诉我们，在面对概率问题的时候，人的直觉并不总是可靠的。下面就是另外 15 个有趣的概率问题。做好准备——这些问题的答案可能会出乎你的意料，让你大跌眼镜！
1. A、B 两路车的发车间隔时间都是 10 分钟，每路车都能从家直达公司。每天早上，我都会在一个不固定的时间出门去车站等车，哪辆车先来就上哪辆。按道理来说，乘坐 A、B 两路车的概率应该是一样的，可一年下来我却发现，乘上 A 路车的次数远远超过乘上 B 路车的次数——前者是后者的 9 倍！这是怎么回事？
答案：虽然两路车都是 10 分钟一班，但 A 路车的到站时间是 8:09, 8:19, 8:29, ……，而 B 路车的到站时间是 8:10, 8:20, 8:30, ……。
2. A、B 两人约定好晚上 6:00 到 7:00 之间在公园门口见面。每个人都会从 6:00 到 7:00 这段时间当中随机挑选一个时间，并在这个时间到达公园门口。每个人都只愿意等待 15 分钟，也就是说，如果 15 分钟之后没有看见对方，那么就会立即离开。那么，两人最终能见面的概率有多大？
答案：7/16。这是一个非常经典的概率问题，它告诉我们：有时候，利用几何模型可以让概率问题瞬间变得明朗起来。让我们画一个正方形，如下图所示，其中横坐标代表 A 到达公园门口的时间，纵坐标代表 B 到达公园门口的时间。那么，A、B 两人的选择就可以用这个正方形里的点来表示。比方说，图中的 P 点就对应于 A、B 分别选择了 6:20 和 6:45 的情形。在正方形里的所有点当中，只有蓝色区域里的点满足横纵坐标之差小于 15 分钟，它们对应着 A、B 两人能够相遇的所有情况。所以说，我们要求的概率，其实就是在正方形里面随机选一个点，这个点恰好落在蓝色区域的概率。它等于蓝色区域的面积除以正方形的总面积，即 7/16。
下面是两个与生男生女有关的问题。在此，我们假设生男生女的概率相同，各占 50%。
3. 为了调控男女比例，某个国家制定了一个政策：每对新婚夫妇都必须生孩子，如果生出的是男孩儿就不能再生了，如果生出的是女孩儿就必须继续生下去，直到生出第一个男孩儿为止。若干年后，该国的男女比例会发生怎样的变化？
目前，该付费内容的完整版仅支持在 App 中查看
??App 内查看1990 年，美国马里兰州的 Craig Whitaker 给 Parade 杂志的「问问玛丽莲」（ Ask Marilyn ）专栏写了一封信，向这个专栏的主持人玛丽莲·沃斯·莎凡特（ Marilyn vos Savant ）提出了一个概率问题：「假设你正在参加一个电视节目。舞台上有三扇门，其中一扇门的后面是汽车，另外两扇门的后面是山羊。你当然是想选中后面有汽车的那扇门。你随便选择了一扇门，比如说 1 号门。这时，主持人打开了另一扇门，比如说 3 号门，让你看到了 3 号门的后面是一只山羊（主持人知道每扇门后面都是什么）。现在，主持人给你一次重新选择的机会。你是否应该换选 2 号门呢？」
玛丽莲是门萨国际的会员，她拥有高达 228 的智商，曾是吉尼斯世界纪录记载的「智商最高的人」。在 Parade 的专栏里，玛丽莲回答过各式各样的谜题，几乎从未出错，这次也不例外。她的回答非常明确：应该换。只需要注意到下面这个事实：刚开始你选中的是汽车，换了后你就会获得山羊；刚开始你选中的是山羊，换了后你就会获得汽车。由于你刚开始选中汽车的概率只有 1/3，选中山羊的概率有 2/3，因此换选 2 号门对你更有利一些。
上面的解答是完全正确的。然而，很多人会觉得，游戏者最终面对的不过是一个二选一的难题，换与不换似乎应该是一样的呀？于是，这个问题毫无疑问地成为了史上争论最多的数学问题之一。上万名读者向 Parade 杂志写信指出玛丽莲的「错误」，其中包括近千名拥有 PhD 学位的读者。据说，匈牙利数学家保罗·埃尔德什（Paul Erd?s）刚开始也拒不接受玛丽莲给出的答案，直到亲眼看见计算机模拟出来的结果，才慢慢开始改变自己的看法。
这个故事告诉我们，在面对概率问题的时候，人的直觉并不总是可靠的。下面就是另外 15 个有趣的概率问题。做好准备——这些问题的答案可能会出乎你的意料，让你大跌眼镜！
1. A、B 两路车的发车间隔时间都是 10 分钟，每路车都能从家直达公司。每天早上，我都会在一个不固定的时间出门去车站等车，哪辆车先来就上哪辆。按道理来说，乘坐 A、B 两路车的概率应该是一样的，可一年下来我却发现，乘上 A 路车的次数远远超过乘上 B 路车的次数——前者是后者的 9 倍！这是怎么回事？
答案：虽然两路车都是 10 分钟一班，但 A 路车的到站时间是 8:09, 8:19, 8:29, ……，而 B 路车的到站时间是 8:10, 8:20, 8:30, ……。
2. A、B 两人约定好晚上 6:00 到 7:00 之间在公园门口见面。每个人都会从 6:00 到 7:00 这段时间当中随机挑选一个时间，并在这个时间到达公园门口。每个人都只愿意等待 15 分钟，也就是说，如果 15 分钟之后没有看见对方，那么就会立即离开。那么，两人最终能见面的概率有多大？
答案：7/16。这是一个非常经典的概率问题，它告诉我们：有时候，利用几何模型可以让概率问题瞬间变得明朗起来。让我们画一个正方形，如下图所示，其中横坐标代表 A 到达公园门口的时间，纵坐标代表 B 到达公园门口的时间。那么，A、B 两人的选择就可以用这个正方形里的点来表示。比方说，图中的 P 点就对应于 A、B 分别选择了 6:20 和 6:45 的情形。在正方形里的所有点当中，只有蓝色区域里的点满足横纵坐标之差小于 15 分钟，它们对应着 A、B 两人能够相遇的所有情况。所以说，我们要求的概率，其实就是在正方形里面随机选一个点，这个点恰好落在蓝色区域的概率。它等于蓝色区域的面积除以正方形的总面积，即 7/16。
下面是两个与生男生女有关的问题。在此，我们假设生男生女的概率相同，各占 50%。
3. 为了调控男女比例，某个国家制定了一个政策：每对新婚夫妇都必须生孩子，如果生出的是男孩儿就不能再生了，如果生出的是女孩儿就必须继续生下去，直到生出第一个男孩儿为止。若干年后，该国的男女比例会发生怎样的变化？
比如，我们常用的ZFC公理体系有多弱：
考虑一个 中的Borel集 ，即开集的可数交/并/补形成的集合。我们将 投影到 上，得到了一个新的集合 。 不一定是Borel的，我们把 这种集合叫做analytic集。取 在 中的补，得到一个co-analytic集 。我们将 投影到线 上，问： 是不是Lebesgue可测的呢？
这个看起来很简单的问题居然在ZFC中不可证。
再说一个很有趣的小定理，把分析（analysis）和组合（combinatorics）两个分支巧妙连接起来。给定一个集合 ，如何判定 是不是Borel集呢？我们可以在 上定义一个信息公开，有两个玩家的组合游戏，比如棋。如果其中一个选手有必胜策略，那么 就是Borel的。
